Singüler Olarak Pertürbe Edilmiş İmpalsiv Diferansiyel Denklemler ve Uygulamaları

2015-12-31
Akhmet, Marat
Çağ, Sabahattin
Pertürbasyon teorisi, tam olarak çözümlenemeyen bir problemin, bu probleme bağlı başka bir problemden yola çıkılarak yaklaşık bir çözüm elde etmek için matematiksel metotlar içeren teoridir. Kesin olarak çözümlenebilen problemin matematiksel tanımına küçük bir terim eklenerek eldeki problem formüle edilebiliyorsa, pertürbasyon teorisi uygulanabilirdir. Pertürbasyon teorisi, istenilen çözümün, kesin çözümlü problemden sapmanın miktarını belirleyen küçük parametre kullanılarak kuvvet serisi terimleri ile ifade edilmesine öncülük eder. Yani, küçük parametre sıfır alınarak yaklaşık çözüm olan kuvvet serisi bulunabilir.Singüler pertürbasyon problemleri ise en yüksek mertebeden türev içeren terimlerinde küçük parametre bulunan problemlerdir. Burada küçük parametre sıfıra giderken problemin doğası bozulur ve diferansiyel denklemin mertebesi düşer. Bu yüzden klasik pertürbasyon teorisinde kullanılan metotlar artık geçersiz olur ve yeni metotlara ihtiyaç duyulur. Bu konu ile ilgili dikkate değer bazı çalışmalar: • Gök mekaniği ile ilgili periyodik olaylar için zaman ölçeklerinde Poincare’nin çalışmaları • Sıvı akışkanlığı üzerine Prandtl’ın çalışmaları • Elektrik devreleri ve salınımlı dinamikleri üzerine Van Der Pol’un çalışmaları• Biyolojik sistemler ve kimyasal reaksiyon kinetiği üzerine Segel ve diğerlerinin çalışmalarıAyrıca, singüler pertürbe edilmiş diferansiyel denklemler; dalga yayılımı, kuantum mekaniği ve kontrol teorisinde de birçok uygulamaya sahiptir. Literatürde singüler pertürbe edilmiş diferansiyel denklemlerin sürekli durumu için birçok kitap ve yayın mevcuttur. Fakat singüler pertürbe edilmiş impalsiv diferansiyel denklemlerin çözümü yeterince incelenmemiş. Bu da birçok problemin çözümünün gerçek değerlerine yeterince yakın bulunmamasına sebep olmaktadır. Amacımız, singüler pertürbasyon teorisini impalsiv diferansiyel denklemlere uygulamaktır. Prof. M. Akhmet, impalsiv diferansiyel denklemlerin süreksiz dinamiğinin teorik altyapısını oluşturan aşağıdaki kitabı yayınlamıştır: • Principles of discontinuous dynamical systems, Springer, New York, 2010.Sonuç olarak, bu teorik sonuçları impalsiv diferansiyel denklemlerine uygulamak mantıklıdır. En ilgi çekici ve zor olan da bu sonuçları çok boyutlu durumlarda incelemektir. Çok boyutlu süreksiz diferansiyel denklemlerin farklı tiplerinin dinamik problemlerini şu şekilde incelemeyi düşünüyoruz;1. Bilinen sonuçları araştırılan modellere uygulamak2. Teoriyi geliştirmek ve yeni sonuçlar yoluyla modelleri incelemek
Citation Formats
M. Akhmet and S. Çağ, “Singüler Olarak Pertürbe Edilmiş İmpalsiv Diferansiyel Denklemler ve Uygulamaları,” 2015. Accessed: 00, 2020. [Online]. Available: https://hdl.handle.net/11511/58639.